实数根也经常被叫为实根. 有些方程有增根，需要检验之后再舍去。1)根指的是方程的解2)实数包括正数，负数和0 3）有理数：整数和分数统称为有理数。
基本内容
实数根也经常被叫为实根.
1)根指的是方程的解
实根就是指方程式的解为实数
2)实数包括正数，负数和0
实数包括：有理数和无理数
有理数包括：整数和分数
无理数包括：正无理数、负无理数
整数包括：正整数、0、负整数
分数包括：正分数、负分数
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
无理数是无限不循环小数，例如√2、√3。
有关定理
定理1 [1 ] n 次多项式f ( x ) 至多有n 个不同的根.
定理2 (笛卡尔符号律) [2 ] 多项式函数 f(x) 的正实根个数等于 f(x) 的非零系数符号变化个数，或比该变化个数小一个偶数；负实根个数等于 f(-x) 的非零系数符号变化个数，或比该变化个数小一个偶数。
定理3 [1 ] 数 c 是 f(x) 的根的充分必要条件是 f(x) 能被 x - c 整除。
定理4 [1 ] 每个次数大于 0 的实系数多项式可分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.
定理5 [1 ] 设(1 ) 式中Pi = 0,1,*,n,ai ∈,即f ( x ) 是整系数多项式，若an ≠0,且有理数u/ v
是f ( x ) 的一个根,u ∈,v ∈ *,( u,v) = 1,那么:
(i ) v | a0,u | an ;
(ii) f ( x ) / ( x - u/ v) 是一个整系数多项式.
定理6 (根的上下界定理) [2 ] 设(1 ) 式中a0 > 0,
1 ) 若存在正实数M,当用x - M 去对f ( x ) 作综合除法时第三行数字仅出现正数或0,那么M 就
是f ( x ) 的根的一个上界;
2 ) 若存在不大于0 的实数m,当用x - m 去对f ( x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或
0 ) 和负数(或0 ) 时，那么m 就是f ( x ) 的根的一个下界.
定理7 (判断根上下界的牛顿法) [3 ] 设有实数k,使f ( k),f ′(k),*,f (m) ( k),*f (n) ( k) 均为非负
数，或均为非正数，则方程f ( x ) = 0 的实根都小于k. 这里f (m) ( x ) 表示f ( x ) 的m 阶导数
定理8 (判断根上下界的约瑟夫·拉格朗日法) [3 ] 设(1 ) 式中a0 > 0,且ak 为第一个负系数，即ak < 0,且Pi < k,ai ≥0,设b 是负系数中的最大绝对值，则f ( x ) = 0 的正根上限为1 +kb/ a0 .
定理9 [1 ] 多项式f ( x ) 无重根的充分且必要条件是f ( x ) 与它的偏导数f ′( x ) 互素.
定理10 (Sturm 定理) [3 ] 设多项式f ( x ) 无重根,b1 < b2,f (b1 ) f (b2 ) ≠0,f ( x ) = 0 在开区间
(b1,b2 ) 中有p 个根,U (b1 ) 与U (b2 ) 分别为f ( x ) 的斯图姆(St urm) 序列
f 0 (b1 ),f 1 (b1 ),*,f s (b1 ),*,f m (b1 )
与f 0 (b2 ),f 1 (b2 ),*,f s (b2 ),*,f m (b2 )
的变号的个数，则p = U (b1 ) - U (b2 ) .
定理11 [3 ] 设f ( x ) 为实系数多项式,D ( f ) 为f ( x ) 的根的判别式，则当D ( f ) = 0 时，方程f ( x )
= 0 有重根；当D ( f ) < 0 时，方程f ( x ) = 0 无重根，且有奇数对虚根；当D ( f ) > 0 时方程f ( x ) = 0 无
重根，且有偶数对虚根.
对(1 ) 式中的f ( x ),D ( f ) 定义为:
D( f ) = (- 1 ) n(n - 1 )/ 2 a- 1
0 R ( f,f ′),
其中f′为f ( x ) 的导函数,R ( f,f ′) 称为f 和f ′的结式，是由f ( x ) 的各项系数确定的一个2 n - 1 阶方
阵R 的行列式 如果当k > n 或k < 0 时记ak = 0,则R 的第i 行第j 列的元素为
rij =
aj - i,当1 ≤i ≤n - 1 ;
(i - j + 1 )aj+n- i- 1,当n ≤i ≤2 n - 1 时
参考资料